П-образная рама

Учебный расчёт · плоская статически определимая рама

Схема с реакциями связейx →, y ↑ · координаты в метрах · стрелки сил показаны условноABBCCDq=(0; -2) кН/мP1: (6; 0) кНS1: Rx=-6S1: Ry=-0,5S2: R=8,5A(0; 0)B(0; 3)C(4; 3)D(4; 0)Жёсткие узлы · распределённые нагрузки заданы на метр длины стержня

1. Система координат и равновесие

x направлена вправо, y вверх, положительный момент — против часовой стрелки. Центр моментов: A (0; 0) м.

Для каждой силы: M = (x − x₀)Fy − (y − y₀)Fx. Равномерная нагрузка заменяется силой qL в середине стержня.

Нагрузка / узелFx, кНFy, кНM, кН·мМомент относительно центра, кН·м
P1 / B600-18
СтерженьL, мqx·L, кНqy·L, кНЦентр нагрузки (x; y), м
AB3000; 1,5
BC40-82; 3
CD3004; 1,5

2. Уравнения для неизвестных реакций

Неизвестные: S1: Rx, S1: Ry, S2: R. Для подвижной опоры положительное направление задаётся её углом.

ΣFx: (1) · [S1: Rx] + (0) · [S1: Ry] + (0) · [S2: R] + (6) = 0

ΣFy: (0) · [S1: Rx] + (1) · [S1: Ry] + (1) · [S2: R] + (-8) = 0

ΣM: (0) · [S1: Rx] + (0) · [S1: Ry] + (4) · [S2: R] + (-34) = 0

3. Реакции связей

РеакцияЗначениеЕдиница
S1: Rx-6кН
S1: Ry-0,5кН
S2: R8,5кН

Проверка ΣFx: (1)·(-6) + (0)·(-0,5) + (0)·(8,5) + (6) = 0

Проверка ΣFy: (0)·(-6) + (1)·(-0,5) + (1)·(8,5) + (-8) = 0

Проверка ΣM: (0)·(-6) + (0)·(-0,5) + (4)·(8,5) + (-34) = 0

4. Метод сечений: N, Q, M

Для каждого стержня s идёт от первого узла ко второму; t — единичный вектор вдоль стержня, n = (−tᵧ; tₓ). Отсекаем часть рамы со стороны первого узла. N = −ΣF·t (растяжение положительно), Q = ΣF·n, M = −ΣM относительно сечения. При этих знаках dM/ds = Q.

Если F₀ и C₀ — сумма сил и моментов отсечённой части относительно начала стержня: N(s) = −F₀·t − qₜs; Q(s) = F₀·n + qₙs; M(s) = −C₀ + (F₀·n)s + qₙs²/2. Внутренний экстремум M находится из Q(s) = 0.

AB: A → B, 0 ≤ s ≤ 3 м

t = (0; 1), n = (-1; 0).

N(s) = 0,5 кН
Q(s) = 6 кН
M(s) = 6·s кН·м

s, мN, кНQ, кНM, кН·м
00,560
30,5618

BC: B → C, 0 ≤ s ≤ 4 м

t = (1; 0), n = (0; 1).

N(s) = 0 кН
Q(s) = −0,5 − 2·s кН
M(s) = 18 − 0,5·s − 1·s² кН·м

s, мN, кНQ, кНM, кН·м
00-0,518
40-8,50

CD: C → D, 0 ≤ s ≤ 3 м

t = (0; -1), n = (1; 0).

N(s) = −8,5 кН
Q(s) = 0 кН
M(s) = 0 кН·м

s, мN, кНQ, кНM, кН·м
0-8,500
3-8,500

Проверки

✓ ΣFx: невязка 0

✓ ΣFy: невязка 0

✓ ΣM относительно первого узла: невязка 0

✓ Стержень AB: два независимых отсечения: невязка 0

✓ Стержень BC: два независимых отсечения: невязка 0

✓ Стержень CD: два независимых отсечения: невязка 0

Эпюра N, кНПоложительные ординаты отложены по локальной нормали n0,50,5AB00BC-8,5-8,5CDABCDЖёсткие узлы · распределённые нагрузки заданы на метр длины стержня
Эпюра Q, кНПоложительные ординаты отложены по локальной нормали n66AB-0,5-8,5BC00CDABCDЖёсткие узлы · распределённые нагрузки заданы на метр длины стержня
Эпюра M, кН·мM отложен на растянутом волокне; масштаб усилий общий для всех стержней018AB180BC00CDABCDЖёсткие узлы · распределённые нагрузки заданы на метр длины стержня

Принятые ограничения: жёсткие узлы, связная схема без контуров, три независимые опорные реакции, узловые силы и моменты, постоянные qx/qy по стержню. Перемещения и прочность не рассчитываются.